Question

已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y²=4x于A、B两点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值．

Answer

（I）利用椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4，即可确定椭圆的标准方程；
（Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点（4，0）的直线AB的方程为x=my+4，代入抛物线方程y2=4x，得y2-4my-16=0．设A（x1，y1）、B（x2，y2），再验证x1x2+y1y2=0即可；
（2）设D（x3，y3）、E（x4，y4），直线DE的方程为x=ty+λ，代入，得（3t2+4）y2+6tλy+3λ2-48=0．
根据OD⊥OE，可得x3x4+y3y4=0，从而可得7λ2=48（t2+1），即可计算原点到直线DE的距离为定值．
【解析】
（Ⅰ）由得，
故b2=a2-c2=12．
所以，所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点（4，0）的直线AB的方程为x=my+4．
代入抛物线方程y2=4x，得y2-4my-16=0．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则
∴x1x2+y1y2=（my1+4）（my2+4）+y1y2=（1+m2）y1y2+4m（y1+y2）+16=0．
∴OA⊥OB．
（2）设D（x3，y3）、E（x4，y4），直线DE的方程为x=ty+λ，代入，得（3t2+4）y2+6tλy+3λ2-48=0．
于是．
从而
∵OD⊥OE，
∴x3x4+y3y4=0．
代入，整理得7λ2=48（t2+1）．
∴原点到直线DE的距离为定值．