Question

已知函数f（x）=2ln（2x）+x²．
（I）若函数g（x）=f（x）+ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（II）设h（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若h（x）存在两个零点m，n且2x=m+n，证明：函数h（x）在（x，h（x））处的切线不可能平行于x轴．

Answer

（I）先将g（x）在（0，+∞）上递增，转化成g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，最后根据分式函数的图象与性质可求出实数a的取值范围；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设h（x）在（x，h（x））处的切线可能平行于x轴，再利用导数研究函数在（1，+∞）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．
【解析】
（Ⅰ）∵g（x）=ln（2x）+x2+ax，．
由已知，得g'（x）≥0对一切x∈（0，+∞）恒成立．
∴，即对一切x∈（0，+∞）恒成立．
∵，∴．
∴a的取值范围为．  …（5分）
（Ⅱ）h（x）=2[ln（2x）+x2]-3x2-kx=2ln（2x）-x2-kx．
由已知得h（m）=2ln（2m）-m2-km=0，h（n）=2ln（2n）-n2-kn=0．
∴，即．
假设结论不成立，即h'（x）=0，则，
∴．
又2x=m+n，
∴==．
∴．
令，则有．
令．
∴=．
∴γ（t）在（1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，γ（t）＞γ（1）=0，即．
∴当t＞1时，不可能成立，
∴假设不成立．
∴h（x）在（x，h（x））处的切线不平行于x轴．  …（14分）