Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E为棱AA₁的中点．
（1）求证：AC₁⊥B₁D₁；
（2）求证：AC₁∥平面B₁D₁E；
（3）求由点A，B₁，D₁，E组成的四面体的体积．

Answer

（1）证明AC1⊥B1D1，利用线面垂直的判定，证明B1D1⊥平面AA1C1即可；
（2）证明AC1∥平面B1D1E，利用线面平行的判定，证明EO∥AC1即可；
（3）根据AA1=2，A1D1⊥平面AB1E，利用即可求得体积．
（1）证明：连接A1C1，交B1D1于点O，由正方体的性质可知AA1⊥平面A1C1，
∴AA1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，
∵AA1∩A1C1=A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，
∵AC1⊂平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，即AC1⊥B1D1；
（2）证明：连接EO，
在△AA1C1，A1E=EA，A1O=OC1，∴EO∥AC1，
∵EO⊂平面B1D1E，AC1⊄平面B1D1E，
∴AC1∥平面B1D1E；
（3）【解析】
∵AA1=2，A1D1⊥平面AB1E，
∴由点A，B1，D1，E组成的四面体的体积为=