Question

在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

设内接圆柱的底面半径为r、高为h，在△AOS中利用线段成比例，算出h=a-2r，从而得到内接圆柱的体积为V=aπr2-2πr3，再用导数讨论函数的单调性，可得在（0，）上单调增，（，）上单调减，得出当r=时，该内接圆柱的最大体积为．
【解析】
设内接圆柱的底面半径为r，高为h
则在△AOS中，=，解得h=a-2r
∴内接圆柱的体积为V=πr2h=aπr2-2πr3（0＜r＜）
∵V'=2aπr-6πr2=2πr（a-3r）
∴0＜r＜时，V'＞0；＜r＜时V'＜0．
由此可得V在（0，）上是增函数，（，）上是减函数
∴当r=时，圆柱的最大体积为V（）=
故选C