Question

设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若，且，则数列{a_nb_n}的前n项和为S_n为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），令x=1，y=n，分别求得数列的通项，bn=n，再利用错位相减法求数列的和即可．
【解析】
∵f（x）f（y）=f（x+y），
∴令x=1，y=n可得
∴
∴{an}是以为首项，为公比的等比数列
∴
∵g（x）+g（y）=g（x+y），
∴∴令x=1，y=n可得g（1）+g（n）=g（n+1）
∴bn+1-bn=g（1）=b1=1
∴数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴bn=n
∴数列{anbn}的前n项和为Sn=1×+2×+…+n×
∴Sn=1×+2×+…+（n-1）×+n×
两式相减可得Sn=1×+1×+1×+…+-n×
∴Sn=2--
故选D．