Question

在正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，已知M为底面△ABC内（含边界）一动点，且点M到三个侧面ABB₁A₁、BCC₁B₁、ACC₁A₁的距离成等差数列，则点M的轨迹是（ ）
A．一条线段
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分

Answer

由题意，M到AB，BC，AC的距离成等差数列，设M到AB，BC，AC的距离分别为a，b，c，则2b=a+c，进而可得M到BC的距离为正三角形高的，故可求点M的轨迹．
【解析】
由题意，M到AB，BC，AC的距离成等差数列，设M到AB，BC，AC的距离分别为a，b，c，则2b=a+c
设正三角形的边长为m，则×2b=×a+×c
∴2S△MBC=S△MAB+S△MAC
∴3S△MBC=S△ABC
∴M到BC的距离为正三角形高的
∴点M的轨迹是一条线段
故选A．