Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC=2，底面四边形ABCD为直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，侧棱PB与底面ABCD成30°角，点M是PB上的动点，且（λ∈[0，1]）．
（1）若CM∥平面PAD，求λ的值；
（2）当λ为何值时，CM与平面PAD所成的角最大？并求出最大角的正弦值．

Answer

（1）在底面四边形ABCD中，由∠B=∠C=90°，知AB∥CD，由此能推导出四边形CDNM是平行四边形．从而能够找到点M在线段PB上使PA=4PN处．
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点，求出平面PAD的法向量，从而可得cos=
设，分别所在直线所成锐角为θ，则cosθ==×，cosθ最大，θ最小，CM与与平面PAD所成的角φ=最大，故可得结论．
【解析】
（1）在底面四边形ABCD中
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
在PA上取点N，使PA=4PN，
连接NM，MC，ND，
在△PAB中，
∵=，∴MN∥AB，MN=AB，
∴四边形CDNM是平行四边形，
所以此时的CM∥平面PAD，λ=．
（2）以C为坐标原点，CB，CD，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则P（0，0，2），A（，4，0），B（2，0，0），C（0，0，0）
设平面PAD的法向量为=（x，y，z）
由，可得，∴
令z=1，则=（，2，1）
∵，||=2，||=2
∴cos=
设，分别所在直线所成锐角为θ，则cosθ==×
∵λ∈[0，1]，∴λ=1时，cosθ最大，从而θ最小，CM与与平面PAD所成的角φ=最大
∴sinφ=sin（）=cosθ=