Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=3，2S_n-na_n-n=0（n∈N^*））
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，求证：当n∈N^*时，．

Answer

（1）根据2Sn-nan-n=0，再写一式，两式相减可得nan-（n-1）an+1=1，当n=1时，a1=1；当n≥2时，两边同除以n（n-1）得-=，利用叠加法即可确定数列的通项；
（2）用分析法证明不等式，由（1）知，=，从而不等式等价于，即证明，利用可得结论．
【解析】
（1）∵2Sn-nan-n=0，2Sn+1-（n+1）an+1-（n+1）=0
两式相减得2an+1-（n+1）an+1+nan-1=0=1
∴nan-（n-1）an+1=1
当n=1时，a1=1；
当n≥2时，两边同除以n（n-1）得-=
∴利用叠加法可得
∴
∴n≥2时，an=2n-1，当n=1时，也成立
∴an=2n-1；
（2）由（1）知，=
从而不等式等价于
即证明
又∵
∴，，…，
∴
即有
故成立