Question

如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=．点M，N分别在边AB和AC 上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A′MN，使顶点A′落在边BC上（A′点和B点不重合）．设∠AMN=θ．
（1）用θ表示∠BA′M和线段AM的长度，并写出θ的取值范围；
（2）求线段AN长度的最小值．

Answer

（1）由折叠可知△AMN≌△A′MN，可得对应角相等，∠AMN=θ，可得出∠A′MA=2θ，在直角三角形A′MB，根据直角三角形的两锐角互余，即可表示∠BA′M，设MA=MA′=x，由AB=1，利用AB-AM表示出MB为1-x，Rt△MBA′中，根据锐角三角函数定义用x表示出sin（2θ-90°），求出x，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简，即可表示出MA，同时由点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，可得出θ的取值范围；
（2）在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，可得出AC=2AB，即∠ACB为30°，得出∠BAC为60°，在三角形AMN中，∠AMN=θ，利用三角形内角和定理表示出∠ANM，再由AM的长，利用正弦定理列出关系式，化简可得出AN=，设t=2sinθsin（120°-θ），利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，去括号后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由θ的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域，可得出t的最大值，进而确定出AN的最小值．
【解析】
（1）易知△AMN≌△A′MN，∴∠A′MA=2θ，
则∠A′MB=180°-2θ，∠BA′M=90°-（180°-2θ）=2θ-90°，（2分）
设MA=MA′=x，则MB=1-x，
在Rt△MBA′中，sin（2θ-90°）=-cos2θ=，
∴MA=x==，（5分）
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，
∴45°＜θ＜90°；（6分）
（2）∵∠B=90°，AB=1，BC=，
∴根据勾股定理得：AC=2，
∴∠BAC=60°，
在△AMN中，由∠AMN=θ，可得∠ANM=180°-60°-θ=120°-θ，
又MA=，
∴根据正弦定理得：=，
可得：AN==，（8分）
令t=2sinθsin（120°-θ）=2sinθ（sinθ+cosθ）
=sin2θ+sinθcosθ=+sin2θ-cos2θ=+sin（2θ-30°），（11分）
∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°，
当且仅当2θ-30°=90°，θ=60°时，t有最大值，
则θ=60°时，AN有最小值．（13分）