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已知k∈R,函数f(x)=mx+knx(0<m≠1,n≠1). (1)如果实数m...

已知k∈R,函数f(x)=mx+knx(0<m≠1,n≠1).
(1)如果实数m,n满足m>1,mn=1,函数f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相应的k值,如果没有,说明为什么?
(2)如果m>1>n>0判断函数f(x)的单调性;
(3)如果m=2,n=manfen5.com 满分网,且k≠0,求函数y=f(x)的对称轴或对称中心.
(1)如果f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)即m-x+kn-x=mx+knx恒成立,转化成(nx-mx)(k-1)=0,根据nx-mx=0不恒成立,可求出k的值,如果f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)即m-x+kn-x=-mx-knx恒成立,可转化成(nx+mx)(k+1)=0,根据nx+mx=0不恒成立,可求出k的值; (2)根据m>1>n>0,则,当k≤0时,显然f(x)=mx+knx在R上为增函数,当k>0时,求出导函数f'(x),令f'(x)=0求出极值点,从而求出函数的单调区间; (3)当m=2,n=时,f(x)=2x+k2-x,如果k<0,根据f(log2(-k)-x)=-f(x)得到函数y=f(x)有对称中心(log2(-k),0),如果k>0,根据f(log2k-x)=f(x)得到函数y=f(x)有对称轴x=log2k. (本题满分16分) 【解析】 (1)如果f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)即m-x+kn-x=mx+knx恒成立,(1分) 即:nx+kmx=mx+knx,(nx-mx)+k(mx-nx)=0,则 (nx-mx)(k-1)=0(2分) 由nx-mx=0不恒成立,得k=1(3分) 如果f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)即m-x+kn-x=-mx-knx恒成立,(4分) 即:nx+kmx=-mx-knx,(nx+mx)+k(mx+nx)=0,则 (nx+mx)(k+1)=0(5分) 由nx+mx=0不恒成立,得k=-1(6分) (2)m>1>n>0,则, ∴当k≤0时,显然f(x)=mx+knx在R上为增函数;(8分) 当k>0时,f'(x)=mxlnm+knxlnn=[lnm+klnn]nx=0, 由nx>0得lnm+klnn=0得=-k=-klogmn得x=.(9分) ∴当x∈(-∞,]时,f'(x)<0,f(x)为减函数; (10分) 当x∈[,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数.(11分) (3)当m=2,n=时,f(x)=2x+k2-x 如果k<0,f(x)=2x+k2-x=2x-(-k)2-x=2x-,(13分) 则f(log2(-k)-x)=-f(x)∴函数y=f(x)有对称中心(log2(-k),0)(14分) 如果k>0,f(x)=2x+k2-x=2x+,(15分) 则f(log2k-x)=f(x) ∴函数y=f(x)有对称轴x=log2k.(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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