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已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=c,2Sn=anan...

已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=c,2Sn=anan+1+r.
(1)若r=-6,数列{an}能否成为等差数列?若能,求c满足的条件;若不能,请说明理由.
(2)设Pn=manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,Qn=manfen5.com 满分网,若r>c>4,求证:对于一切n∈N*,不等式-n<Pn-Qn<n2+n恒成立.
(1)n=1时,2a1=a1a2+r,由a1=c,知.n≥2时,由2Sn=anan+1+r,2Sn-1=an-1an+r,得2an=an(an+1-an-1).所以an+1-an-1=2.由此能够导出当且仅当c=3时,数列{an}为等差数列. (2)由a2n-1-a2n=[a1+2(n-1)]-[a2+2(n-1)]=a1-a2=c+-2.知a2n-a2n+1=[a2+2(n-1)]-(a1+2n)=a2-a1-2=-(c+).所以•n•(n+c-1)+=+.由此能够推导出对于一切n∈N*,不等式-n<Pn-Qn<n2+n恒成立. (1)【解析】 n=1时,2a1=a1a2+r, ∵a1=c≠0, ∴2c=ca2+r,.  (1分) n≥2时,2Sn=anan+1+r,① 2Sn-1=an-1an+r,② ①-②,得2an=an(an+1-an-1). ∵an≠0,∴an+1-an-1=2. ( 3分) 则a1,a3,a5,…,a2n-1,…成公差为2的等差数列, a2n-1=a1+2(n-1). a2,a4,a6,…,a2n,…成公差为2的等差数列, a2n=a2+2(n-1). 要使{an}为等差数列,当且仅当a2-a1=1. 即.r=c-c2.  ( 4分) ∵r=-6,∴c2-c-6=0,c=-2或3. ∵当c=-2,a3=0,不合题意,舍去. ∴当且仅当c=3时,数列{an}为等差数列. (5分) (2)证明:a2n-1-a2n=[a1+2(n-1)]-[a2+2(n-1)]=a1-a2=c+-2. a2n-a2n+1=[a2+2(n-1)]-(a1+2n)=a2-a1-2=-(c+). (8分) ∴ =.(9分) =-.(10分) ∴•n•(n+c-1)+ =+.(11分) ∵r>c>4, ∴>4, ∴>2. ∴0<<<1. (13分) 且=>-1.  (14分) 又∵r>c>4, ∴, 则0<.. ∴<1. ∴. ∴<1.(15分) ∴对于一切n∈N*,不等式-n<Pn-Qn<n2+n恒成立.(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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