Question

已知各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=c，2S_n=a_na_n+1+r．
（1）若r=-6，数列{a_n}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由．
（2）设P_n=，Q_n=，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式-n＜P_n-Q_n＜n²+n恒成立．

Answer

（1）n=1时，2a1=a1a2+r，由a1=c，知．n≥2时，由2Sn=anan+1+r，2Sn-1=an-1an+r，得2an=an（an+1-an-1）．所以an+1-an-1=2．由此能够导出当且仅当c=3时，数列{an}为等差数列．
（2）由a2n-1-a2n=[a1+2（n-1）]-[a2+2（n-1）]=a1-a2=c+-2．知a2n-a2n+1=[a2+2（n-1）]-（a1+2n）=a2-a1-2=-（c+）．所以•n•（n+c-1）+=+．由此能够推导出对于一切n∈N*，不等式-n＜Pn-Qn＜n2+n恒成立．
（1）【解析】
n=1时，2a1=a1a2+r，
∵a1=c≠0，
∴2c=ca2+r，．  （1分）
n≥2时，2Sn=anan+1+r，①
2Sn-1=an-1an+r，②
①-②，得2an=an（an+1-an-1）．
∵an≠0，∴an+1-an-1=2． （ 3分）
则a1，a3，a5，…，a2n-1，…成公差为2的等差数列，
a2n-1=a1+2（n-1）．
a2，a4，a6，…，a2n，…成公差为2的等差数列，
a2n=a2+2（n-1）．
要使{an}为等差数列，当且仅当a2-a1=1．
即．r=c-c2．  （ 4分）
∵r=-6，∴c2-c-6=0，c=-2或3．
∵当c=-2，a3=0，不合题意，舍去．
∴当且仅当c=3时，数列{an}为等差数列． （5分）
（2）证明：a2n-1-a2n=[a1+2（n-1）]-[a2+2（n-1）]=a1-a2=c+-2．
a2n-a2n+1=[a2+2（n-1）]-（a1+2n）=a2-a1-2=-（c+）． （8分）
∴
=．（9分）

=-．（10分）
∴•n•（n+c-1）+
=+．（11分）
∵r＞c＞4，
∴＞4，
∴＞2．
∴0＜＜＜1． （13分）
且=＞-1．  （14分）
又∵r＞c＞4，
∴，
则0＜．．
∴＜1．
∴．
∴＜1．（15分）
∴对于一切n∈N*，不等式-n＜Pn-Qn＜n2+n恒成立．（16分）