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必做题,本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 已知抛物线y2...

必做题,本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(1)若点F到直线l的距离为manfen5.com 满分网,求直线l的斜率;
(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.(6分)
(1)设出直线l的方程y=k(x-4),利用点F到直线l的距离为,即可求得k的值; (2)设AB中点的坐标为N(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),依题意直线MN的斜率为,直线AB的斜率为kAB=,从而可得AB的方程,与抛物线y2=4x联立,结合韦达定理即可求得AB中点的横坐标. 必做题,本小题(10分). 【解析】 (1)由已知得F(1,0),又直线l过点M(4,0), 当直线l斜率不存在时,l的方程为:x=4,点F到直线l的距离为3,与题意不符; ∴直线l斜率存在,设为k,则l的方程为:y=k(x-4),…(2分) ∵点F到直线l的距离为, ∴=, ∴k=±…(4分) (2)设AB中点的坐标为N(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 因为AB不垂直于x轴,则直线MN的斜率为,直线AB的斜率为kAB=, 直线AB的方程为,…(5分) 联立方程 消去x得,…(7分) 所以,…(8分) 因为N为AB中点,所以,即,…(9分) 所以x=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.…(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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