Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ，
（Ⅰ）若f₂₀₁₁（x）=a+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，求a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（Ⅲ）证明：．

Answer

（I）给f2011（x）的展开式中的x分别赋值1，-1；两式相减求出待求的系数和．
（II）由于g（x）是由三个二项式的和组成；利用二项展开式的通项公式求出三个二项式中x6的系数，求它们的和．
（III）构造函数h（x）；待证等式的左边即为h（x）展开式含xm的系数和；通过数列的求和方法：错位相减法求出h（x）；求出h（x）的展开式含xm项的系数；利用组合数公式化简，恒等式得证．
【解析】
（Ⅰ）因为fn（x）=（1+x）n，
所以f2011（x）=（1+x）2011，
又f2011（x）=a+a1x+…+a2011x2011，
所以f2011（1）=a+a1+…+a2011=22011（1）
f2011（-1）=a-a1+…+a2010-a2011=0（2）
（1）-（2）得：2（a1+a3+…+a2009+a2011）=22011
所以：a1+a3+…+a2009+a2011=f2011（1）=22010（2分）
（Ⅱ）因为g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），
所以g（x）=（1+x）6+2（1+x）7+3（1+x）8
g（x）中含x6项的系数为1+2×C76+3C86=99（4分）
（Ⅲ）设h（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+…+n（1+x）m+n-1（1）
则函数h（x）中含xm项的系数为Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m（7分）
（1+x）h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2++n（1+x）m+n（2）
（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）m+（1+x）m+1+（1+x）m+2++（1+x）m+n-1-n（1+x）m+n
x2h（x）=（1+x）m-（1+x）m+n+nx（1+x）m+n
h（x）中含xm项的系数，即是等式左边含xm+2项的系数，
等式右边含xm+2项的系数为-Cm+nm+2+nCm+nm+1

=
所以Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m=（13分）