Question

已知函数f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）利用函数f（x）=2x+k•2-x为奇函数，建立等式，即可求实数k的值；
（2）对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2-x成立，即2x+k•2-x＞2-x成立，即1-k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立，从而可求实数k的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）=2x+k•2-x为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴2-x+k•2x=-（2x+k•2-x）
∴（1+k）+（k+1）22x=0恒成立
∴k=-1
（2）∵对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2-x成立，
∴2x+k•2-x＞2-x成立
∴1-k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立
∵y=22x在[0，+∞）上单调递增
∴函数的最小值为1
∴1-k＜1
∴k＞0