Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，BD是对角线，过A作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P的位置．且PB=．
（I）求证：PO⊥平面ABCE；
（n）求二面角E-AP-B的余弦值．

Answer

（I）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，关键证明PO⊥OB，PO⊥AE；
（Ⅱ）过O作OH⊥AP于H，连接BH，则BH⊥AP，证明∠OHB为二面角E-AP-B的平面角，从而可求二面角E-AP-B的余弦值．
（I）证明：∵矩形ABCD中，AB=3，AD=6，BD是对角线，∴BD=9
∵AE⊥BD，∴Rt△AOD∽Rt△BAD
∴，∴DO=4，∴BO=5
在Rt△POB中，PB=，PO=4，B0=5，∴PO2+BO2=PB2，
∴PO⊥OB，
∵PO⊥AE，AE∩OB=O
∴PO⊥平面ABCE；
（Ⅱ）【解析】
∵OB⊥平面AOP，过O作OH⊥AP于H，连接BH，则BH⊥AP
∴∠OHB为二面角E-AP-B的平面角
∵OB=5，OH=
∴tan∠OHB=，
∴cos∠OHB=
即二面角E-AP-B的余弦值为．