Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，b₁=5，b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（I）当n=1时，，a1=2．当n≥2时，∵，，由此得an=3an-1，从而能够得到数列{an}的通项公式．
（II）由bn+1=bn+an，得bn=bn-1+2•3n-2，b3=b2+2×3，b2=b1+2×3，相加得bn=b1+2×（3n-2+…+3+3）=5+，由此能求出数列{bn}的通项公式．
【解析】
（I）当n=1时，，∴a1=2．（2分）
当n≥2时，∵①
②
①-②得：，即an=3an-1，（3分）
∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列．（4分）
∴an=2×3n-1．（6分）
（II）∵bn+1=bn+an，
∴当n≥2时，bn=bn-1+2•3n-2，
b3=b2+2×3，
b2=b1+2×3，（8分）
相加得bn=b1+2×（3n-2+…+3+3）
=5+．（11分）
（相加（1分），求和（1分），结果1分）
当n=1时，31-1+4=5=b1，（12分）
∴bn=3n-1+4．（13分）