Question

已知函数f（x）=x²+x-ln（x+a）+3b在x=0处取得极值0．
（1）求实数a，b的值；
（II）若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（III）证明：对任意的正整数n＞l，不等式都成立．

Answer

（I）由已知函数求导得f′（x）根据在x=0处取得极值0列出方程即可解得a，b．
（II）由（I）知f（x）=x2+x-ln（1+x）．将方程转化x2+x-ln（1+x）-=0，令H（x）=x2+x-ln（1+x）-，再利用导数研究其单调性，从而求出m的取值范围．
（III）由（I）知f（x）=x2+x-ln（1+x）的定义域为（-1，+∞），且f′（x）=，利用导数与函数单调性的关系研究其单调性和最值得出x2+x≥ln（1+x），进而有对任意正整数n，取x=，得到：，最后分别取n=2，3，…，n，得到n-1个不等关系，利用裂项求和法即可证得结论．
【解析】
（I）由已知得f′（x）=2x+1-，
∵在x=0处取得极值0，∴f′（0）=0，
f′（0）=0，
解得：a=1，b=0．
（II）由（I）知f（x）=x2+x-ln（1+x）．
则方程即x2+x-ln（1+x）-=0，
令H（x）=x2+x-ln（1+x）-，
则方程H（x）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，
∵H′（x）=2x--=，
∴当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，故H（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，2）时，H′（x）＞0，故H（x）在（1，2）上是增函数；
从而有：，
∴--ln2＜m≤1-ln3．
（III）由（I）知f（x）=x2+x-ln（1+x）的定义域为（-1，+∞），
且f′（x）=，
当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，故H（x）在（-1，0）上是减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，故H（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最小值，
∴f（x）≥f（0）=0，
故x2+x≥ln（1+x），其中当x=0时等号成立，
对任意正整数n，取x=，得，
∴，
从而有：，分别取n=2，3，…，n，得到：
=ln
故成立．