Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer

（1）证明平面PAD内的直线AD，垂直平面PQB内的两条相交直线BQ，PQ，即可证明平面PQB⊥平面PAD；
（2）连AC交BQ于N，交BD于O，说明PA∥平面MQB，利用PA∥MN，根据三角形相似，即可得到结论；
（3）建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量，平面ABCD的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
（1）证明：连BD，
∵四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，
∵Q为AD中点，∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，AD⊂平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）当t=时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，则O为BD的中点，
又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=a，AC=a．
∴PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
∴==
即：PM=PC，t=；
（3）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，，0）），Q（0，0，0），P（0，0，）
设平面MQB的法向量为，可得，
而PA∥MN，∴，∴y=0，x=
∴
取平面ABCD的法向量
∴cos=
∴二面角M-BQ-C的大小为60°．