Question

如图，△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=．（Ⅰ）求：BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．

Answer

（Ⅰ）由sin的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC的值，设BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到关于a与b的关系式，记作①，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于两角互补，得到cos∠ADB等于-cos∠BDC，两个关系式互为相反数，得到a与b的另一个关系式，记作②，①②联立即可求出a与b的值，即可得到BC的值；
（Ⅱ）由角ABC的范围和cos∠ABC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠ABC的值，由AB和BC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的面积等于三角形ABC面积的，进而求出三角形BDC的面积．
【解析】
（Ⅰ）因为sin=，所以cos∠ABC=1-2=1-2×=．（2分）
在△ABC中，设BC=a，AC=3b，
由余弦定理可得： ①（5分）
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：
，．（7分）
因为cos∠ADB=-cos∠BDC，所以有，所以3b2-a2=-6 ②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3．（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠ABC=，则sin∠ABC==，又AB=2，BC=3，
则△ABC的面积为AB•BCsin∠ABC=，
又因为AD=2DC，所以△DBC的面积为×2=．（12分）