Question

在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为    ．

Answer

设直线AB的方程为y=kx+1，（k≠0）．将直线AB方程与椭圆消去y，解得B的坐标，再用两点之间距离公式，可以算出AB长关于a、k的表达式，同理可得AC长关于a、k的表达式，从而得到Rt△ABC的面积S关于a、k的表达式，根据基本不等式进行讨论，可得△ABC的面积S的最大值为，最后结合题意解关于a的方程，即可得到实数a的值．
【解析】
设直线AB的方程为y=kx+1则直线AC的方程可设为y=-x+1，（k≠0）
由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0，所以x=0或x=
∵A的坐标（0，1），
∴B的坐标为（，k•+1），即B（，）
因此，AB==•，
同理可得：AC=•
∴Rt△ABC的面积为S=AB•AC=•=
令t=，得S==
∵t=≥2，∴S△ABC≤=
当且仅当，即t=时，△ABC的面积S有最大值为=
解之得a=3或a=
∵a=时，t=＜2不符合题意，
∴a=3
故答案为：3