Question

在平面直角坐标系xOy中，设A、B是双曲线上的两点，M（1，2）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点．
（1）求直线AB与CD的方程；
（2）判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．

Answer

（1）设A（x1，y1），则B（2-x1，4-y1），代入双曲线方程，即可求出A、B的坐标，从而可得AB、CD的方程；
（2）A、B、C、D四点共圆，证明由三点A、B、C可先确定一个圆，再检验证D满足方程即可．
【解析】
（1）设A（x1，y1），则B（2-x1，4-y1），代入双曲线得
解得或
即A、B的坐标为（-1，0）、（3，4），所以AB的方程为，即y=x+1，
∵A，B的中点为（1，2），
∴CD的方程为：y-2=-（x-1），即y=-x+3；
（2）A、B、C、D四点共圆，下证之：
证明：由y=-x+3与联立方程组可得C、D的坐标为、，
由三点A、B、C可先确定一个圆，设圆心坐标为O′（a，-a+3），由|O′A|=|O′B|=|O′C|，可得（a+1）2+（-a+3）2=（a-3）2+（-a-1）2=，∴a=-3，∴圆心坐标为（-3，6），半径为2
∴圆的方程为（x+3）2+（y-6）2=40①，
检验适合①式，所以A、B、C、D四点共圆．
（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）