Question

选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，求证：．

Answer

A、连接OD，则OD⊥DC，先确定∠ODE=30°，再在Rt△ODC中，可求BC的长；
B．根据二阶矩阵的特征值与特征向量的概念，建立方程组，即可求得结论；
C．化参数方程为普通方程，将点A（1，-2）代入，即可求得p的值；
D．a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1＞0，利用基本不等式即可证明．
A、【解析】
连接OD，则OD⊥DC，
在Rt△OED中，OB=OD，所以∠ODE=30°，
在Rt△ODC中，∠DCO=30°，由DC=2得OD=DCtan30°=，
所以BC=．
B．【解析】
由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=，
所以，解得a=1，b=3．
C．【解析】
由（t为参数，p为正常数），消去参数t得y2=2px，将点A（1，-2）代入y2=2px得p=2．

D．证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1＞0，
所以=，
当且仅当时等号成立，
所以．