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已知函数f(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,x∈[0,+∞),求f...

已知函数f(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,x∈[0,+∞),求f(x)的最大值.
求导函数f'(x)=2ln(1+x)-2x,构造新函数g(x)=2ln(1+x)-2x,确定g(x)在x=0处取得极大值,且g(0)=0,从而可得f'(x)≤0(当且仅当x=0时取等号),由此可求函数的最大值. 【解析】 由f(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x得f'(x)=2ln(1+x)-2x, 令g(x)=2ln(1+x)-2x,则, 当-1<x<0时,g'(x)>0,g(x)在(-1,0)上为增函数; 当x>0时,g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)上为减函数, 所以g(x)在x=0处取得极大值,且g(0)=0, 故f'(x)≤0(当且仅当x=0时取等号), 所以函数f(x)为[0,+∞)上的减函数, 则f(x)≤f(0)=0,即f(x)的最大值为0.
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考点分析:
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选作题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(几何证明选讲)
如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点,求BC的长.
B.(矩阵与变换)
已知矩阵manfen5.com 满分网的属于特征值b的一个特征向量为manfen5.com 满分网,求实数a、b的值.
C.(极坐标与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,-2)在曲线manfen5.com 满分网(t为参数,p为正常数),求p的值.
D.(不等式选讲)
设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=1,求证:manfen5.com 满分网

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(1)求p的值;
(2)求证:数列{an}为等比数列;
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(2)若函数在开区间(m-9,9-m)上存在最大值与最小值,求实数m的取值范围.
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(1)如何安排文、理科阅卷老师的人数,使得全省数学阅卷时间最省?
(2)由于今年理科阅卷任务较重,理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成,在按(1)分配的人数阅卷4天后,阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷,试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天?(天数精确到小数点后第3位)
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(1)求直线AB与CD的方程;
(2)判断A、B、C、D四点是否共圆?若共圆,请求出圆的方程;若不共圆,请说明理由.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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