Question

数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}满足a₁=2，S_n为{a_n}的前n项和，求S_2n+1．

Answer

（ I）由题意得an+1+an=4n-3，an+2+an+1=4n+1．所以an+2-an=4，由{an}是等差数列，公差d=2，能求出．
（Ⅱ）由a1=2，a1+a2=1，知a2=-1．因为an+2-an=4，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，故a2n-1=4n-2，a2n=4n-5．由此能求出S2n+1．
【解析】
（ I）由题意得an+1+an=4n-3…①
an+2+an+1=4n+1…②．…（2分）
②-①得an+2-an=4，
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d=2，（4分）
∵a1+a2=1∴a1+a1+d=1，∴．（6分）
∴．（7分）
（Ⅱ）∵a1=2，a1+a2=1，
∴a2=-1．（8分）
又∵an+2-an=4，
∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，
∴a2n-1=4n-2，a2n=4n-5．（11分）
S2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（a2+a4+…+a2n）（12分）
=
=4n2+n+2．（14分）