Question

函数f（x）=lnx-ax（a＞0）．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间与极值；
（2）对∀x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求实数a的范围．

Answer

（1）利用导数求函数的单调区间与极值，先求导数，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．减区间与增区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数为正，右侧导数为负时，为极大值，当极值点左侧导数为负，右侧导数为正时，为极小值．
（2）由条件可得＜a（x＞0）恒成立，等价于的最大值＜a，令h（x）=（x＞0），用导数求出-x的最大值即可．
【解析】
（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=-2=，令f′（x）=0，得x=，如下表

∴f（x）在（0，）上是增函数，在（ ，+∞）上是减函数，
∴f（x）极大值=f（ ）=-ln2-1，无极小值．
（2）由条件可得＜a（x＞0）恒成立，等价于的最大值＜a，
令h（x）=（x＞0），则h′（x）=，
则当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，又当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
所以h（x）max=h（e）=，
所以a＞．