Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA1⊥平面ABC，AA1∥=BB₁，AB=AC=AA₁=，B₁C₁∥=．
（1）求证：A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）若D是BC的中点，求证：B₁D∥平面A₁C₁C；
（3）若BC=2，求几何体ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer

（1）根据勾股定理的逆定理，可得AB⊥AC，再由线面垂直的性质得到AB⊥AA1，从而得到AB⊥平面AA1C，最后证明四边形A1ABB1是平行四边形，可得AB∥A1B1，，所以A1B1⊥平面AA1C；
（2）利用一组对边平行且相等，证出四边形B1C1CD是平行四边形，从而B1D∥C1C，再用线面平行的判定定理，即可证出B1D∥平面A1C1C；
（3）连接AD、C1D，将几何体ABC-A1B1C1的体积分割成四棱锥C-DAA1C1和三棱柱ABD-A1B1C1，则不难用柱体、锥体的体积公式求出它的体积．
【解析】
（1）∵AB=AC=，∴AB2+AC2=BC2，可得AB⊥AC
又∵AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥AA1
∵AC、AA1⊂平面AA1C，AC∩AA1=A
∴AB⊥平面AA1C，
又∵AA1∥BB1，且AA1=BB1，
∴四边形A1ABB1是平行四边形，可得AB∥A1B1
∴A1B1⊥平面AA1C；
（2）∵B1C1∥BC且B1C1=，D为BC中点
∴B1C1∥DC且B1C1=DC，
∴四边形B1C1CD是平行四边形，可得B1D∥C1C
∵B1D⊈平面A1C1C，C1C⊂平面A1C1C
∴B1D∥平面A1C1C；
（3）连接AD、C1D，
∵AD⊥BC，AA1⊥BC，且AD、AA1是平面DAA1C1内的相交直线
∴BC⊥平面DAA1C1，可得CD是四棱锥C-DAA1C1的高
由（1）（2）的证明可知：ABD-A1B1C1是直三棱柱
∴几何体ABC-A1B1C1的体积为：V=V四棱锥C-DAA1C1+V三棱柱ABD-A1B1C1=+=