Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1，则下列四个命题中真命题的序号为    ．
①S₂₀₀₉=2009；②S₂₀₁₀=2010；③a₂₀₀₉＜a₂；④S₂₀₀₉＜S₂．

Answer

根据已知条件可判断a2＞1，0＜a2009＜1，0＜a2009＜1＜a2，从而公差d＜0可判断③，
然后两式相加整理可得a2+a2009=2，利用等差数列的性质可知a1+a2010=a2+a2009=2可判断①②，
由公差d＜0 可得a2+a2008＞a2+a2009＞a2+a2010，结合等差数列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006，
从而可得0＜a1006＜1＜a1005，可判断④的正误．
【解析】
由（a2-1）3+2010（a2-1）=1，（a2009-1）3+2010（a2009-1）=-1
可得a2-1＞0，-1＜a2009-1＜0即a2＞1，0＜a2009＜1，从而可得等差数列的公差d＜0
③a2009＜a2正确
把已知的两式相加可得（a2-1）3+2010（a2-1）+（a2009-1）3+2010（a2009-1）=0
整理可得（a2+a2009-2）•[（a2-1）2+（a2009-1）2-（a2-1）（a2009-1）+2010]=0
结合上面的判断可知（a2-1）2+（a2009-1）2-（a2-1）（a2009-1）+2010＞0
所以a2+a2009=2，而②正确
由于d＜0，a2010＜a2009＜1，则S2009=S2010-a2010=2010-a2010＞2009①错误
由公差d＜0 可得a2+a2008＞a2+a2009＞a2+a2010，结合等差数列的列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006
从而可得0＜a1006＜1＜a1005
④s2009-s2=a3+a4+…+a2009=2007a1006＞0，故④错误
故答案为：②③