Question

为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增b人．假设每个窗口的售票速度为c人/分钟，且当开放两个窗口时，25分钟后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放三个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．
（1）若要求售票10分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？
（2）若a=60，在只开一个窗口的情况下，试求第n（n∈N^*且n≤118）个购票者的等待时间t_n关于n的函数，并求出第几个购票者的等待时间最长？
（注：购票者的等待时间指从开即始排队（售票开始前到达的人，从售票开始计时）到开始购票时止）

Answer

（1）由已知中每个窗口的售票速度为c人/分钟，且当开放两个窗口时，25分钟后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放三个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象，我们可以构造关于a，b，c的方程，进而由售票10分钟后不会出现排队现象，构造一个关于x的不等式，即可得到答案．
（2）首先确定第n个人的等待时间的函数，分析其最值，即可得到结论．
【解析】
（1）设需同时开x个窗口，
则根据题意有，
由（1）（2）得，c=2b，a=7b代入（3）得，75b+10b≤20bx，∴x≥4.25，
即至少同时开5个窗口才能满足要求．
（2）由a=60得，b=0.8，c=1.6，设第n个人的等待时间为tn，则由题意有，
当n≤60（n∈N*）时，；
当60＜n≤118（n∈N*）时，设第n个人是售票开始后第t分钟来排队的，
则n=60+0.8t，此时已有1.6t人购到票离开队伍，即实际排队的人数为n-1.6t，
∴，
综上，tn关于n的函数为，
∵当n≤60时，分钟，
当60＜n≤118时，分钟，
∴第60个购票者的等待时间最长．