Question

已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，且圆C：过A，F₂两点．
（1）求椭圆标准的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=时，证明：点P在一定圆上；
（3）设椭圆的上顶点为Q，证明：PQ=PF₁+PF₂．

Answer

（1）由圆C：确定A，F2两点的坐标，即可求得椭圆方程；
（2）设点P（x，y），因为F1（-，0），F2（，0），则可求，，利用β-α=，及差角的正切公式，即可证得结论；
（3）利用两点间的距离公式，计算|PQ|2=12-4y，计算出（|PF1|+|PF2|）2，即可得到结论．
（1）【解析】
圆与x轴交点坐标为，，
故，所以b=3，
∴椭圆方程是：．
（2）证明：设点P（x，y），因为F1（-，0），F2（，0），则=tanβ=，=tanα=，
因为β-α=，所以tan（β-α）=-．
因为tan（β-α）==，所以=-．
化简得x2+y2-2y=3．
所以点P在定圆x2+y2-2y=3上．
（3）证明：∵|PQ|2=x2+（y-3）2=x2+y2-6y+9，x2+y2=3+2y，∴|PQ|2=12-4y．
又|PF1|2=（x+）2+y2=2y+6+2x，|PF2|2=（x-）2+y2=2y+6-2x，
∴2|PF1|×|PF2|=2=4，
因为3x2=9-3y2+6y，所以2|PF1|×|PF2|=4，
∵β=α+＞，又点P在定圆x2+y2-2y=3上，∴y＜0，
所以2|PF1|×|PF2|=-8y，
从而（|PF1|+|PF2|）2=|PF1|2+2|PF1|×|PF2|+|PF2|2=4y+12-8y=12-4y=|PQ|2．
所以|PQ|=|PF1|+|PF2|．