Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=（n∈N^∗）．
（1）求数列{a_n}的最大项；
（2）设b_n=，求实常数p，使得{b_n}为等比数列；
（3）设m，n，p∈N^*，m＜n＜p，问：数列{a_n}中是否存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）首先对数列{an}的通项公式进行变形，由 an=，分析an随n的变化规律再结合n∈N*即可获得问题的解答．
（2）结合条件充分利用等比数列的性质：等比中项即可获得含参数的方程，解方程即可获得参数的值，最后要注意
参数的验证．
（3）若存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列，则2an=am+ap，化简得3n（2×3p-n-3p-m-1）
=1+3p-m-2×3n-m（*），由条件可得（*）式不可能成立，故数列{an}中不存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是
等差数列．
【解析】
（1）由题意可得 an==2+，随着n的增大而减小，所以{an}中的最大项为a1=4．
（2）bn====，若{bn}为等比数列，
∴b2n+1-bnbn+2=0（n∈N*），
∴[（2+p）3n+1+（2-p）]2-[（2+p）3n+（2-p）][（2+p）3n+2+（2-p）]=0（n∈N*），
化简得（4-p2）（2•3n+1-3n+2-3n ）=0即-（4-p2）•3n•4=0，解得p=±2．
反之，当p=2时，bn=3n，{bn}是等比数列；当p=-2时，bn=1，{bn}也是等比数列．
所以，当且仅当p=±2时{bn}为等比数列．
（3）因为，，，
若存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列，则2an=am+ap，
所以=，
化简得3n（2×3p-n-3p-m-1）=1+3p-m-2×3n-m（*），
因为m，n，p∈N*，m＜n＜p，所以p-m≥p-n+1，p-m≥n-m+1，
所以3p-m≥3p-n+1=3×3p-n，3p-m≥3n-m+1=3×3n-m，（*）的
左边≤3n（2×3p-n-3×3p-n-1）=3n（-3p-n-1）＜0，
右边≥1+3×3n-m-2×3n-m=1+3n-m＞0，所以（*）式不可能成立，
故数列{an}中不存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列．