Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若∃x≥1，f（x）＜g（x），求实数a的取值范围；
（2）证明：“方程f（x）-g（x）=ax（a＞0）有唯一解”的充要条件是“a=1”．

Answer

（1）记F（x）=f（x）-g（x），求导函数，分类讨论，确定函数F（x）的最小值，令最小值小于0，即可求得实数a的取值范围；
（2）证明分充分性与必要性进行证明，搞清楚条件与结论．
（1）【解析】
记F（x）=f（x）-g（x），则，x≥1，
当a≤0时，F'（x）＞0恒成立，故F'（x）为[1，+∞）上的单调增函数，所以Fmin（x）=F（1）=1，（2分）
当a＞0时，由F'（x）=0得（负值舍去），
若，即0＜a≤2时，F'（x）≥0恒成立，故F（x）为[1，+∞）上的单调增函数，所以Fmin（x）=F（1）=1，（4分）
若，即a＞2时，F'（x）在上恒小于0，在上恒大于0，
所以F（x）在上的单调递减，在上的单调递增，
故，
综上所述，（6分）
所以，且a＞2，解得a＞2e．（8分）
（2）证明：1°充分性：当a=1时，方程x2-lnx=x，即x2-lnx-x=0，记G（x）=x2-lnx-x，x＞0
由得x=1（负值舍去），
所以G（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
故Gmin（x）=g（1）=0，即G（x）=x2-lnx-x在（0，+∞）有唯一解x=1，得证．（11分）
2°必要性：因为方程x2-alnx=ax（a＞0）有唯一解，记h（x）=x2-alnx-ax，x＞0
由得（负值已舍），
所以h（x）在（0，x）上单调递减，在[x，+∞）上单调递增，
故hmin（x）=h（x）=0，且h'（x）=0（13分）
即
②-①×2得2lnx+x-1=0，x＞0，记s（x）=2lnx+x-1，x＞0，
则函数s（x）为（0，+∞）上的单调增函数，且s（1）=0，所以方程2lnx+x-1=0有唯一解x=1，
将x=1代入②式得a=1，即证．
由1°、2°得，“方程f（x）-g（x）=ax（a＞0）有唯一解”的充要条件是“a=1”．（16分）