Question

某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．
（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；
（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y．若|x-y|≥10，则称此二
人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人的概率P₁；
（Ⅲ）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出的3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ分布列及期望．

Answer

（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10，x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，解得x=0.15，y=0.10，从而得出直方图和平均数M．
（Ⅱ）依题意先求出第四组人数，然后能够求出选出的二人的概率P1．
（Ⅲ）依题意样本总人数为，成绩不低于120分人数为80×（0.05+0.10+0.15）=24，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率为，又由已知ξ的可能取值为0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和期望．
【解析】
（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10①x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10②由①②解得x=0.15，y=0.10（2分）
从而得出直方图（如图所示）
（3分）
M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5（4分）
（Ⅱ）依题意第四组人数为，故（6分）
（Ⅲ）依题意样本总人数为，成绩不低于120分人数为80×（0.05+0.10+0.15）=24（7分）
故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率为
又由已知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=0.337，P（ξ=1）=0.450，P（ξ=2）=0.188，P（ξ=3）=0.025．
故ξ的分布列如下：

ξ 1 2 3
P 0.337 0.450 0.188 0.025

Eξ=0×0.337+1×0.450+2×0.188+3×0.025=0.901．（12分）