Question

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角．
（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB₁∥平面BDC₁，并且说明理由；
（Ⅱ）当AB₁∥平面BDC₁时，求二面角C-BC₁-D余弦值．

Answer

（I）由题意连接B1C交BC1于O，连接DO由于四边形BCC1B1是矩形且O为B1C中点又D为AC中点，从而DO∥AB1，在由线线平行，利用线面平行的判定定理即可；
（II）由题意建立空间直角坐标系，先求出点B，A，C，D及点C1的坐标，利用先求平面的法向量，在由法向量的夹角与平面的夹角的关系求出二面角的余弦值的大小．
【解析】
（Ⅰ）当D为AC中点时，有AB1∥平面BDC1，
证明：连接B1C交BC1于O，连接DO∵四边形BCC1B1是矩形
∴O为B1C中点又D为AC中点，从而DO∥AB，
∵AB1⊄平面BDC1，DO⊂平面BDC1∴AB1∥平面BDC1
（Ⅱ）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，则B（0，0，0），A（，1，0），C（0，2，0），D（，，0），C1（0，2，2），
所以=（，，0），=（0，2，2）．
设=（x，y，z）为平面BDC1的法向量，则有，即
令Z=1，可得平面BDC1的一个法向量为=（3，-，1），
而平面BCC1的一个法向量为=（1，0，0），
所以cos＜，＞===，故二面角C-BC1-D的余弦值为．