Question

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-2y+1=0的面积，则的最大值为    ．

Answer

根据题意，求出圆的圆心坐标，又由直线始终平分圆的面积，则直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程，变形可得2a+b=2，由基本不等式求出的最小值，又由=，分析可得的最大值，即可得答案．
解+根据题意，圆的一般方程为x2+y2+2x-2y+1=0，则其圆心坐标为（-1，1），
又由直线2ax-by+2=0始终平分圆x2+y2+2x-2y+1=0的面积，
则直线过圆心，所以有2a×（-1）-b×1+2=0，变形可得2a+b=2；
则有=×（2a+b）×（）=×（3++），
又由a＞0，b＞0，＞0，且＞0，则有+≥2=2，
则=×（3+）≥，
又由=，则=≤=6-4，
即的最大值为6-4；
故答案为6-4．