Question

已知函数的最小正周期为π，其图象关于直线对称．
（1）求函数f（x）在上的单调递增区间；
（2）若关于x的方程1-f（x）=m在上只有一个实数解，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由最小正周期求出ω的值，最后根据图象关于直线x=对称确定函数f（x）的解析式．
（2）由题意可得 sin（2x+）=m在上只有一个实数解，再由 0≤x≤可得 ≤2x+≤，得到-≤sin（2x+）≤1，由此得到实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）=a•=a•sin2ωx-+
=a•sin2ωx-cos2ωx+1，
∵函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，ω=1．
∴f（x）=a•sin2x-cos2x+1．
再由函数f（x）的图象关于直线对称可得 f（0）=f（），即 =a•-•（-）+1，解得 a=-1．
故函数f（x）=-sin2x-cos2x+1=1-sin（2x+），故本题即求sin（2x+）在上的减区间．
令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z．
再由x∈可得函数f（x）在上的单调递增区间为[，]．
（2）关于x的方程1-f（x）=m在上只有一个实数解，即 sin（2x+）=m在上只有一个实数解．
再由 0≤x≤可得 ≤2x+≤，∴-≤sin（2x+）≤1，
集合图象可得 m=1，或-≤m＜．