Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx，当时，f（x）取得极大值，并且函数y=f'（x）的图象关于y轴对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若曲线C对应的解析式为，求曲线C过点P（2，4）的切线方程；
（3）（实）过点可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由f′（x）=3ax2+2bx+c为偶函数，得到b=0，再由当时，f（x）取得极大值，解得 a=，c=-1，由此能求出f（x）．
（2）=，设切点为（x，y），则y=，由此能求出切线方程．
（3）设切点坐标为（t，），切线方程为：y-=（2t2-1）（x-t），把A（1，m）代入，得=0，由过点可作曲线y=f（x）的三条切线，知=0有三个解，由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵f′（x）=3ax2+2bx+c为偶函数，∴f（x）=f（-x），
∴3ax2-2bx+c=3ax2+2bx+c，
∴2bx=0得到b=0，
∴f（x）=ax3+cx，
∵当时，f（x）取得极大值，
∴，
∴解得 a=，c=-1，
∴f（x）=-x．
（2）=，
设切点为（x，y），则y=，k=g′（x）|=x，
切线方程为：y-（+）=（x-x），
代入点P（2，4）化简得：x-3x+4=0，解得x=-1，或x=2，
所以切线方程为：x-y+2=0或4x-y-4=0．
（3）设切点坐标为（t，），
∵f（x）=-x，∴f′（x）=2x2-1，
则切线方程为：y-=（2t2-1）（x-t），
把A（1，m）代入，得m-=（2t2-1）（1-t），
整理，得=0，
∵过点可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴=0有三个解，
记g（t）=，
则g′（t）=4t2-4t，
令g′（t）=4t2-4t=0，得t=0，或t=1，
列表讨论，

 t （-∞，0）  0  （0，1）  1 （1，+∞） 
 g′（t） +  0 -  0 +
 g（t） ↑  极大值 ↓  极小值 ↑

∴当t=0时，g（t）取极大值g（0）=m+1，
当t=1时，g（t）取极小值g（1）=m+，
要使g（t）有三个零点，只需m+1＞0且m+＜0，解得-1＜m＜-．
∴实数m的取值范围是（-1，-）．