Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，且．
（1）求证：a＞0且；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，求|x₁-x₂|的范围．

Answer

（1）根据f（1）=a+b+c=-，可得c=-a-b，结合3a＞2c＞2b，可得结论；
（2）利用零点存在定理，证明f（0）×f（2）＜0即可；
（3）|x1-x2|2=（x1 +x2）2-4x1x2==（-）2+2≥2，由此可得结论．
（1）证明：∵f（1）=a+b+c=-，∴c=-a-b
∴3a＞2c=-3a-2b，∴3a＞-b，
∵2c＞2b，∴-3a＞4b；
若a＞0，则；若a=0，则0＞-b，0＞b，不成立；若a＜0，则，不成立．
（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，f（1）=-，△=b2-4ac=b2+4ab+6a2＞0
①当c＞0时，f（0）＞0，f（1）＜0，所以f（x）在（0，1）上至少有一个零点
②当c=0时，f（0）=0，f（2）=4a+2b=a＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点
③当c＜0时，f（0）＜0，f（1）＜0，b=-a-c，f（2）=4a-3a-2c+c=a-c＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点
综上：所以f（x）在（0，2）上至少有一个零点．
（3）c=-a-b，（|x1-x2|）2=（x1+x2）2-4x1x2=b2-4ac
|a|=（+2）2+2
因为-3＜b/a＜-，所以（|x1-x2|）2∈[2，）
所以|x1-x2|∈[，）