Question

数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，若数列{a_n}满足a₁=1，（n≥2且n∈N^*）．
（1）求b₂，b₃及数列{b_n}的通项公式；
（2）试证明：（n≥2且n∈N^*）；
（3）求证：．

Answer

（1）由b1=1，bn+1=2bn+1，分别令n=1和n=2，先求出b2和b3，再由bn+1=2bn+1，利用构造法求出{bn}的通项公式．
（2）由a1=1，（n≥2且n∈N*），变形得到，由此能够证明：（n≥2且n∈N*）．
（3）由（1）知：=2（），再由=1++…+，利用放缩法能够证明．
【解析】
（1）∵b1=1，bn+1=2bn+1，
∴b2=2×1+1=3，
b3=2×3+1=7，
∵bn+1=2bn+1，∴bn+1+1=2（bn+1），
∴=2•2n-1=2n，
∴．
（2）∵a1=1，（n≥2且n∈N*），
∴，
，
∴，
∴=，
∴（n≥2且n∈N*）．
（3）由（2）知
=
=
=•an+1
=
=2•
=2（），
而=1++…+，
当k≥2时，=2（），
∴
=1+2[（）+（）+…+（）
=1+2（）＜．