Question

在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点（A在B的左侧），分别过A、B作y轴的平行线分别与函数y=log₂x的图象交于C、D两点，若BC∥x轴，则四边形ABCD的面积为    ．

Answer

设出A、B的坐标，求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，从而解出B、C、D的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．
【解析】
设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．
则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．
因为A、B在过点O的直线上，所以 =，
点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．
由于BC平行于x轴知
log2x1=log8x2，
即得log2x1=log2x2，
∴x2=x13．
代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1．
由于x1＞1知log8x1≠0，
∴x13=3x1．
考虑x1＞1解得x1=．
于是点A的坐标为（，log8）即A（， log23）
∴B（3，log23），C（，log23），D（3，log23）．
∴梯形ABCD的面积为S=（AC+BD）×BC=（ log23+log23）×2=．
故答案为：．