Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．
（1）若点，求△ABC的面积；
（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k₁、k₂．
①试探究：k₁•k₂是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；
②求△AEF的面积的最小值．

Answer

（1）根据题意的离心率及点B的坐标，建立方程，求出a的值，即可求△ABC的面积；
（2）①k1•k2为定值，证明，由（1）得a2=2b2，即可得到结论；
②设直线AB的方程为y=k1（x-a），直线AC的方程为y=k2（x-a），令x=a+1得，求出△AEF的面积，结合①的结论，利用基本不等式，可求△AEF的面积的最小值．
【解析】
（1）由题意得
解得a2=2b2=8，
则△ABC的面积S=；
（2）①k1•k2为定值，下证之：
证明：设B（x，y），则C（-x，-y），且，
而
由（1）得a2=2b2，所以；
②设直线AB的方程为y=k1（x-a），直线AC的方程为y=k2（x-a），
令x=a+1得，yE=k1，yF=k2，则△AEF的面积，
因为点B在x轴上方，所以k1＜0，k2＞0，
由得（当且仅当k2=-k1时等号成立）
所以，△AEF的面积的最小值为．