Question

定义在正实数集上的函数f（x）满足下列条件：
①存在常数a（0＜a＜1），使得f（a）=1；②对任意实数m，当x∈R⁺时，有f（x^m）=mf（x）．
（1）求证：对于任意正数x，y，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在正实数集上单调递减；
（3）若不等式f（log_a²（4-x）+2）-f（log_a（4-x）⁸）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）分别取x=am，y=an，再结合已知条件中的等式，化简可以得出f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）设两个正数x1，x2，且x1＞x2，通过构造x1=x2t（t＞1），t=aα（α＞0），再用函数单调性的定义可以证出
f（x1）-f（x2）=αf（a）=α＜0，可得函数在在（0，+∞）上单调递减；
（3）先利用（1）的结论，将不等式化为，再根据（2）利用函数单调增的性质，转化为不等式，∴对于t＞0恒成立，实数a的范围就不难得出了．
【解析】
（1）证明：∵x，y均为正数，且0＜a＜1，根据指数函数性质可知，总有实数m，n使得x=am，y=an，
于是f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a）=m+n，…（2分）
又f（x）+f（y）=f（am）+f（an）=mf（a）+nf（a）=m+n，∴f（xy）=f（x）+f（y）（5分）
（2）证明：任设x1，x2∈R+，x1＞x2，可令x1=x2t（t＞1），t=aα（α＜0）…（7分）
则由（1）知f（x1）-f（x2）=f（x2t）-f（x2）=f（x2）+f（t）-f（x2）=f（t）=f（aα）=αf（a）=α＜0，
即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在正实数集上单调递减；
（3）令loga（4-x）=t，原不等式化为f（t2+2）-f（8t）≤3，其中t＞0．∵f（x）-f（y）=f（x）+f（y-1）=且f（a）=1（0＜a＜1），
不等式可进一步化为，…．（12分）
又由于单调递减，∴对于t＞0恒成立．…（13分）
而，
且当时．…..（16分）
∴，又0＜a＜1，终得．…..（18分）