Question

如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M，N分别为AB，SB的中点．
（Ⅰ）求异面直线AC与SB所成角；
（Ⅱ）求二面角 N-CM-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离．

Answer

（I）取AC 中点D，连接SD，DB由已知中SA=SC，，△ABC是边长为4的正三角形，可由等腰三角形三线合一的性质，我们可得AC⊥SD且AC⊥BD，由线面垂直的性质可得AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC⊥SB，即异面直线AC与SB所成角为90°
（II）由（I）的结论AC⊥平面SDB，由面面垂直的判定定理可得平面SDC⊥平面ABC，过N作NE⊥BD于E，过E作EF⊥CM于F，连接NF，则∠NFE为二面角N-CM-B的平面角，解△ABC，Rt△NEF即可得到二面角N-CM-B的大小．
（III）点B到平面CMN的距离为h，由VB-CMN=VN-CMB，我们求出S△CMN，S△CMB，及NE的长，代入即可得到点B到平面CMN的距离．
【解析】
（I）取AC 中点D，连接SD，DB．
因为SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，所以AC⊥平面SDB．
又SB⊂平面SDB，所以AC⊥SB．
所以异面直线AC与SB所成角为90°．…（4分）
（II）因为AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．
过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连接NF，则NF⊥CM，
所以∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．
因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．
又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD．
由于SN=NB，所以NE=SD==，且ED=EB．
在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF=MB=．
在Rt△NEF中，tan∠NFE==2
所以二面角N-CM-B的大小是arctan2．     …（8分）
（III）在Rt△NEF中，NF==，
所以S△CMN=CM•NF=，S△CMB=CM•BM=2．
设点B到平面CMN的距离为h，
因为VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，
所以S△CMN•h=S△CMB•NE  则h=
即点B到平面CMN的距离为．             …（12分）