定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意m＞0，n∈R有f（mn）=nf（m...

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意m＞0，n∈R有f（mⁿ）=nf（m），且当0＜x＜1时f（x）＜0
（1）求f（1）；
（2）证明：当x＞1时f（x）＞0；
（3）证明：函数f（x）在（0，+∞）上递增．

（1）利用赋值，取m=1，n=2可求f（1）（2）设x＞1，则，结合已知可得，由f（mn）=nf（m），可得可证（3）由f（mα+β）=f（mα×mβ）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（mα）+f（mβ），可得f（xy）=f（x）+f（y），设0＜x1＜x2，则，根据单调性的定义可证（1）【解析】取m=1，n=2得f（12）=2f（1）， ∴f（1）=0 （2）证明：设x＞1，则，又0＜x＜1时，f（x）＜0， ∴ ∵m＞0，n∈R有f（mn）=nf（m）， ∴ ∴f（x）＞0 即x＞1时，f（x）＞0 （3）证明：∵f（mα+β）=f（mα×mβ）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（mα）+f（mβ），记mα=x＞0，mβ=y＞0，则f（xy）=f（x）+f（y），设0＜x1＜x2，则即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在（0，+∞）上单增．

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考点分析：

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已知函数f（x）=2x³-3ax²+（a²+2）x-a（a∈R）．
（I）若当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（II）若函数f（x）仅有一个零点，求a的取值范围．

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已知函数

．
（I）若f（x）为奇函数，求a的值；
（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．

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已知函数f（x）=x²+bx+2．
（I）若当x∈[-1，4]时，f（x）≥b+3恒成立，求f（x）；
（II）若函数f（x）的定义域与值域都是[0，2]，求b的值．

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已知集合 A={x||x-1|＜2}，B={x|x²+ax-6＜0}，C={x|x²-2x-15＜0}
（1）若A∪B=B，求a的取值范围；
（2）是否存在a的值使得A∪B=B∩C，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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给出以下命题：
①函数 manfen5.com 满分网

既无最大值也无最小值；
②函数f（x）=|x²-2x-3|的图象关于直线x=1对称；
③若函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（x²）的定义域为（-1，1）；
④若函数f（x）满足|f（-x）|=|f（x）|，则函数f（x）或是奇函数或是偶函数；
⑤设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若对任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，且函数f（x）在R上递增，则函数h（x）=f（x）-g（x）在R上递增．
其中正确的命题是（写出所有真命题的序号）查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等