Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）证明：．

Answer

（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）由（I）知当x=0时，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，即ex-ln（x+1）≥1，即ex≥ln（x+1）+1，取x=，则，再分别令n=1，2，3，…，n得到n个不等式，相加即得．
【解析】
x＞-1，f′（x）=ex-．
（I）由于f′（x）=ex-在（-1，+∞）上是增函数，且f′（0）=0，
∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调增区间（0，+∞），函数f（x）的单调减区间（-1，0）．
（II）由（I）知当x=0时，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，
∴ex-ln（x+1）≥1，即ex≥ln（x+1）+1，
取x=，则，
于是e≥ln2-ln1+1，
≥ln3-ln2+1，
≥ln4-ln3+1，
…
≥ln（n+1）-lnn+1．
相加得，，得证．