Question

已知点F是椭圆右焦点，点M（m，0）、N（0，n）分别是x轴、y轴上的动点，且满足，若点P满足．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A、B两点，直线OA、OB与直线x=-a分别交于点S、T（其中O为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）设点P（x，y），由题意可知，点F的坐标为（a，0），，由得，消去n与m可得y2=4ax．
（2）设过F点的直线l方程为：y=k（x-a），与轨迹C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，得：k2x2-（2ka+4a）x+k2a2=0，则x1x2=a2，y1y2=-4a2．得直线OA的方程为：，所以点S为；同理得点T为；表示出即可得到答案．
【解析】
（1）设点P（x，y），由题意可知，点F的坐标为（a，0），
则，，①，
由得：（x，y）=（-m，2n），即②，
将②式代入①式得：y2=4ax
（2）设过F点的直线l方程为：y=k（x-a），与轨迹C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
联立得：k2x2-（2ka+4a）x+k2a2=0，
则x1x2=a2，．
由于直线OA的方程为：，则点S的坐标为；
同理可得点T的坐标为；
故，，
则．