Question

已知函数f（x）=|x²-6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），则a²b的最小值是    ．

Answer

由题意可得 a2-6=6-b2，即 a2+b2=12，-2＜b＜0，故g（b）=a2b=（12-b2） b=12b-b3．利用导数
研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值．
【解析】
∵函数f（x）=|x2-6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），∴a2-6=6-b2，即 a2+b2=12．
∴-＜b＜0，∴a2b=（12-b2） b=12b-b3．
设g（b）=12b-b3，则 g'（b）=12-3b2，令 g'（b）=0，解得b=-2，
所以，g（b）在（-，-2）上单调递减，g（b）在[-2，0）上单调增，
故g（b）最小值是g（-2）=-24+8=-16，
故答案为-16．