Question

已知数列{a_n}满足[2+（-1）ⁿ⁺¹]a_n+[2+（-1）ⁿ]a_n+1=1+（-1）ⁿ•3n，n∈N^*，a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）设bn=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，证明：{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）设c_n=a_n+n²，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）将n=1，2分别代入[2+（-1）n+1]an+[2+（-1）n]an+1=1+（-1）n•3n，即可求a2，a3的值；
（Ⅱ）在条件中，用2n代换n，用2n-1代换n，两式相减，可得bn=4n-1，从而可得{bn}是等差数列；
（Ⅲ）求得a2k-1=a1+（a3-a1）+…+（a2k-1-a2k-3）=（k-1）（2k-1）+2，a2k=-6k2+3k-5，从而可得c2k-1=-4k2-5k+，c2k=-4k2+3k-5，则c2k-1+c2k=-2k-，进而可得结论．
（Ⅰ）【解析】
因为数列{an}满足[2+（-1）n+1]an+[2+（-1）n]an+1=1+（-1）n•3n，（*），且a1=2，
所以将n=1代入（*）式，得3a1+a2=-2，故a2=-8
将n=2代入（*）式，得a2+3a3=7，故a3=5
（Ⅱ）证明：在（*）式中，用2n代换n，得[2+（-1）2n+1]a2n+[2+（-1）2n]a2n+1=1+（-1）2n•6n，
即a2n+3a2n+1=1+6n  ①，
再在（*）式中，用2n-1代换n，得[2+（-1）2n]a2n-1+[2+（-1）2n-1]a2n=1+（-1）2n-1•（6n-3），
即3a2n-1+a2n=4-6n②，
①-②，得3（a2n+1-a2n-1）=12n-3，即bn=4n-1
∴bn+1-bn=4，
∴{bn}是等差数列；
（Ⅲ）【解析】
因为a1=2，由（Ⅱ）知，a2k-1=a1+（a3-a1）+…+（a2k-1-a2k-3）=（k-1）（2k-1）+2    ③，
将③代入②，得3（k-1）（2k-1）+6+a2k=4-6k，即a2k=-6k2+3k-5
所以c2k-1=a2k-1+（2k-1）2=-4k2-5k+，c2k=a2k+（2k）2=-4k2+3k-5，
则c2k-1+c2k=-2k-，
所以S2k=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c2k-1+c2k）=-k2-
所以S2k-1=S2k-c2k=（-k2-）-（-4k2+3k-5）=3k2-+5
故Sn=．