Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，M是棱CC₁的中点，
（1）求证：A₁B⊥AM；
（2）求直线AM与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

Answer

（1）由题意利用几何体的垂直关系建立直角坐标系，求对应向量的数量积为零，即得出垂直；
（2）在（1）的坐标系中，求出面AA1B1B的法向量，再利用对应向量的数量积求余弦值的绝对值，即为所求．
【解析】
（1）如图，以B为原点，BA、BB1所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A1（0，2，），A（0，2，0），，
∴，，
∴•=0+3-3=0，
即⊥，∴⊥；
（2）∵x轴⊥面AA1B1B，∴面AA1B1B的法向量取n=（1，0，0），
设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ，
∴．，
∴直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为．