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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1=a,直线...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1=a,直线B1C与平面ABC成30°角.
(1)求证:平面B1AC⊥平面ABB1A1;   
(2)求C1到平面B1AC的距离;   
(3)求三棱锥A1-AB1C的体积.

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(1)由直三棱柱性质,B1B⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,根据线面垂直的性质可知B1B⊥AC,又BA⊥AC,B1B∩BA=B,根据线面垂直的判定可知可知AC⊥平面 ABB1A1,又AC⊂平面B1AC,根据面面垂直的判定定理可得结论; (2)根据A1C1∥AC,A1C1⊄平面B1AC,AC⊂平面B1AC,满足线面平行的判定定理,则A1C1∥平面B1AC,则C1到平面B1AC的距离就是求A1到平面B1AC的距离,过A1做A1M⊥B1A1,垂足为M,连接CM,根据面面垂直的性质可知A1M⊥平面B1AC,求出A1M即为所求; (3)根据直线B1C与平面ABC成30°则∠B1CB=30°,可得B1C=2a,BC=,然后根据,从而求出所求. 【解析】 (1)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面ABC,AC⊂平面ABC ∴B1B⊥AC, 又BA⊥AC,B1B∩BA=B, ∴AC⊥平面 ABB1A1, 又AC⊂平面B1AC, ∴平面B1AC⊥平面ABB1A1. (2)【解析】 ∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面B1AC,AC⊂平面B1AC ∴A1C1∥平面B1AC ∴C1到平面B1AC的距离就是求A1到平面B1AC的距离 过A1做A1M⊥B1A1,垂足为M,连接CM, ∵平面B1AC⊥平面ABB1A,且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面B1AC. 从而A1C=a,又A1M=,sinA1CM== ∴C1到平面B1AC的距离为 (3)【解析】 ∵直线B1C与平面ABC成30°角, ∴∠B1CB=30°. 可得B1C=2a,BC=, ∴
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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