Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=a，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（1）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；   
（2）求C₁到平面B₁AC的距离；   
（3）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

Answer

（1）由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，根据线面垂直的性质可知B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，根据线面垂直的判定可知可知AC⊥平面 ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，根据面面垂直的判定定理可得结论；
（2）根据A1C1∥AC，A1C1⊄平面B1AC，AC⊂平面B1AC，满足线面平行的判定定理，则A1C1∥平面B1AC，则C1到平面B1AC的距离就是求A1到平面B1AC的距离，过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，根据面面垂直的性质可知A1M⊥平面B1AC，求出A1M即为所求；
（3）根据直线B1C与平面ABC成30°则∠B1CB=30°，可得B1C=2a，BC=，然后根据，从而求出所求．
【解析】
（1）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，AC⊂平面ABC
∴B1B⊥AC，
又BA⊥AC，B1B∩BA=B，
∴AC⊥平面 ABB1A1，
又AC⊂平面B1AC，
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．
（2）【解析】
∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面B1AC，AC⊂平面B1AC
∴A1C1∥平面B1AC
∴C1到平面B1AC的距离就是求A1到平面B1AC的距离
过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，
∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，
∴A1M⊥平面B1AC．
从而A1C=a，又A1M=，sinA1CM==
∴C1到平面B1AC的距离为
（3）【解析】
∵直线B1C与平面ABC成30°角，
∴∠B1CB=30°．
可得B1C=2a，BC=，
∴