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已知点A(-1,0)、B(1,0),△ABC的周长为2+2.记动点C的轨迹为曲线...

已知点A(-1,0)、B(1,0),△ABC的周长为2+2manfen5.com 满分网.记动点C的轨迹为曲线W.
(1)直接写出W的方程(不写过程);
(2)经过点(0,manfen5.com 满分网)且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q,是否存在常数k,使得向量manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网与向量manfen5.com 满分网共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
(3)设W的左右焦点分别为F1、F2,点R在直线l:x-manfen5.com 满分网y+8=0上.当∠F1RF2取最大值时,求manfen5.com 满分网的值.
(1)利用椭圆的定义能够直接写出W的方程. (2)设直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程,得(+k2)x2+2kx+1=0.因为直线l与椭圆有两个不同的交点,所以△=8k2-4(+k2)=4k2-2>0,解得k<-或k>.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2),x1+x2,=-.y1+y2=k(x1+x2)+2.所以+与向量(-2,1)共线等价于x1+x2=-(y1+y2),由此能够推导出不存在常数k,使得向量+与共线. (3)当∠F1RF2取最大值时,过R、F1、F2的圆的圆心角最大,故其半径最小,与直线l相切.由此能求出当∠F1RF2取最大值时,求的值. 【解析】 (1)W:+y2=1(y≠0). (2)设直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程,得+(kx+)2=1. 整理,得(+k2)x2+2kx+1=0.① 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 △=8k2-4(+k2)=4k2-2>0,解得k<-或k>. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2), 由①得x1+x2,=-.② 又y1+y2=k(x1+x2)+2             ③ 所以+与向量(-2,1)共线等价于x1+x2=-(y1+y2), 将②③代入上式,解得k=. 所以不存在常数k,使得向量+与共线 (3)当∠F1RF2取最大值时,过R、F1、F2的圆的圆心角最大,故其半径最小,与直线l相切. 直线l与x轴于S(-8,0),∵△F1SR∽△RSF2∴.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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